경매 (Auctions)

 

네 가지 주요 경매 유형

- Ascending-bid auctions or English auctions

• 물리적으로나 전자적으로 입찰자(bidder)가 존재하는 실시간 상호적으로 수행되는 경매이다. 판매자(seller)는 점차 가격을 올리고, 마지막 한 명의 입찰자가 남을 때까지 입찰자들이 빠져 나간다. 구두로 진행되는 경매에서는 입찰자가 가격을 외치거나 전자적으로 가격을 제출하는 방식이다.

- Descending-bid auctions or Dutch auctions

• 판매자가 현재 가격을 지불하는 첫 입찰자가 나올 때까지 가장 높은 초기 값에서 점차 가격을 내리는 방식이다.

- First-price sealed-bid auctions

• 입찰자는 동시에 판매자에게 몰래 입찰 가격을 제출한다. 입찰자들은 판매자에게 밀봉된 봉투에 가격을 적어 담아 제공하였다. 그 봉투는 판매자가 모두 함께 열게 하였다. 가장 높은 가격을 제시한 입찰자가 물건을 얻는다.

- Second-price sealed-bid auctions or Vickrey auctions

• 몰래 입찰 가격을 제시하고 판매자가 한 번에 입찰 가격을 공개하는 방식(여기서 입찰자는 아무것도 안하거나, 가격을 제시하거나, 포기하는 3가지 행동만 가능)은 위와 동일. 가장 높은 가격을 제시한 입찰자가 물건을 얻는데, 지불하는 가격은 두번째로 제시된 높은 가격이다.

- Descending-Bid & First-Price Auctions

• 첫번째, descending-bid auction을 고려하라. 여기서 판매자가 높은 초기 가격을 시작으로 점점 가격을 낮추기 때문에, 어떤 입찰자도 마지막 누군가가 실제로 입찰을 할 때까지 어떤 것도 말하지 않는다. 입찰자들은 경매가 진행중인 동안에 아무도 아직 현재 가격을 받아들이지 않았다는 사실 이외에 아무것도 알지 못한다. 각각의 입찰자 i에 대해 첫번째 가격 bi이 있다. 이 가격은 입찰을 한다는 의지가 있는 것이기 때문에 입찰 가격 bi는 입찰자 i의 “입찰” 자체를 의미한다. 실제 입찰을 하는 사람은 입찰자가 제시한 가장 높은 가격을 지불한다.

- Ascending-Bid & Second-Price Auctions

• 점점 가격을 올리는 과정에서 사람들이 떨어져 나가고, 마지막으로 남은 입찰자는 두번째로 높게 제시된 가격을 지불한다.
• 경매를 포기할 때까지 입찰자가 머무는 경우를 생각해보자.
  • 첫번째, 가격이 당신의 true value에 도달한 후에 경매에 참가하는 것이 말이 되는가? 그렇지 않다. 머물면 오히려 얻지 못하고 손해를 보게 된다. (true value보다 높은 가격을 지불해야 하므로)
  • 두번째, 가격이 당신의 true value에 도달하기 전에 포기하는 것이 말이 되는가? 그렇지 않다. 만약 일찍 포기한다면, 아무것도 얻지 못한다. 실제로 true value에 도달하기 전에 입찰을 할 수도 있을 것이다.
• 이는 입찰자가 ascending-bid auction 에서 가격이 true value에 도달할 정확한 순간이 올 때까지 머물러야 한다는 것을 의미한다. 만약 각 입찰자가 포기할 시기의 가격이 누군가의 입찰 가격이라면, 사람들은 그들의 입찰가로 자신의 true value를 사용해야 한다.
• 마지막에 입찰자가 둘만 남은 경우, 입찰자 한 명이 중도 포기를 한다면 책정한 금액은 그 사람의 second price이다. 따라서 마지막까지 남은 입찰자 한 명이 second price로 지불한다.
• 두번째로 높은 가격을 지불하는 이유
  • 경매의 낙찰 금액은 참여자의 true value가 아니라 경쟁자의 true value(=second highest)에 의해 좌지우지 된다.
• ascending-bid auction의 끝에 동시에 발생하는 3가지 일에 대한 단순한 생각이다.
  • second price를 제시한 입찰자는 중도 포기한다.
  • 마지막으로 남은 입찰자는 혼자인 것을 알고 어떤 높은 가격에 동의하는 것을 멈춘다.
  • 판매자는 현재 가격(=중도포기한 입찰자의 true value)으로 마지막에 남은 입찰자에게 아이템을 준다.
• 더욱이, 이러한 입찰의 정의에 따라, ascending-bid auction의 결과를 결정하는 규칙은 다음과 같이 재구성될 수 있다. 입찰가가 가장 높은 사람은 가장 오래 머무는 사람이다. 그래서 당첨된 물건, 그리고 그녀는 두 번째 사람이 탈락한 가격을 지불한다. 즉, 그녀는 이 두 번째 사람의 입찰에 응한다. 따라서 그 품목은 두 번째로 높은 가격으로 마지막에 남은 입찰자에게 간다. 이것은 정확히 sealed-bid second-price auction에 사용되는 규칙이며, ascending-bid auction 는 구매자와 판매자 간의 실시간 상호작용을 수반하는 반면, sealed-bid version 은 판매자가 열고 평가하는 밀봉된 입찰에서 순수하게 발생한다는 차이점이 있다. 그러나 규칙의 밀접한 유사성은 second-price auction을 위한 최초에 반직관적인 가격 규칙을 동기를 부여하는 데 도움이 된다. 그것은 sealed-bid를 사용하여 ascending-bid auction 의 시뮬레이션으로 볼 수 있다. 더욱이 입찰자들이 그들의 true value가 정확히 도달되는 지점까지 ascending-bid auction 에 남기를 원한다는 사실은 다음 섹션에서 무엇이 우리의 주된 결과가 될지에 대한 직관을 제공한다. 게임 이론의 관점에서 sealed-bid second-price auction 를 공식화한 후에, 우리는 한 사람의 true value를 입찰하는 것이 dominant strategy이라는 것을 알게 될 것이다.

- 경매 형식 비교

• first-price auction에서 입찰자들은 second-price auction에서 입찰하는 것보다 더 낮은 입찰가격을 제시 하는 경향이 있을 것이고, 사실 이 입찰의 인하는 마지막 낙찰자의 가격 크기 차이로 보일 수 있으므로, 위의 경향이 아닌 경우에 차이가 발생하는 걸 없앤다.
• Second-Price Auctions: 입찰자가 직전에 중도포기한 사람의 true value를 지불하는 것은 second price sealed-bid auction에서의 dominant strategy이다.
• Second-Price Auction을 게임으로 공식화하기
  • 입찰자 i의 true value 를 vi라고 표현하고, 입찰자의 전략은 true value의 함수로 입찰하기 위한 양 bi 이다. second-price sealed-bid auction에서 입찰가격 bi와 true value 로 vi를 가지는 입찰자 i의 payoff는 입찰가 bi가 채택되지 않았다면 payoff는 0이고, 만약 입찰되었다며 second-price인 다른 bj에 대해 payoff 는 vi - bj가 된다.
    • 원한 목표가치(vi) - 낙찰 가격 (bj = 입찰자 j의 true value)

- Second-Price Auctions에서의 정직한 입찰

• 주장: sealed-bid second-price auction에서 dominant strategy는 각 입찰자 i가 bi = vi 인 입찰가를 선택하는 것이다.
• 증명: 만약 입찰자 i가 bi = vi 로 낙찰할 때, 다른 이들이 사용하는 전략에 무관하게 가격을 바꾸는 어떤 행동도 payoff를 향상시키진 않는다는 사실을 보여야 한다. 입찰자 i가 입찰가를 올리는 상황과 입찰가를 내리는 상황 2가지 경우를 고려해보자. 핵심은 두 경우 모두 입찰가격만 입찰자 i가 이길지 말지에 영향을 주지만, 실제 낙찰하는 상황에서 얼마나 많이 지불할 지에는 영향을 주지 않는다. 지불하는 양이 다른 입찰 가격에 의해 전적으로 결정되고, 다른 가격들 중 가장 큰 가격에 의해 특히 그러하다. 입찰자 i가 가격을 수정할 때 모든 다른 입찰가격이 그대로이기 때문에, i의 입찰가격 변화는 오로지 입찰자가 이기는/지는 결과가 바뀐다면 실제 Payoff에 영향을 준다.
• 두 가지 상황에 대해 명심해야할 것.
  • 첫번째, 입찰자 i가 vi보다 큰 b’i (>vi)로 낙찰이 된 경우 입찰자는 true value 보다 큰 가격을 제시했으니 vi로는 졌지만, 입찰가격 b’i로 실제 낙찰은 되었으니 이겼다고 보며 결국 가격의 변화는 입찰자에게만 영향을 미친다. 이것이 발생하려면, 가장 높은 다른 입찰 가격 bj는 bi와 b’i 사이에 존재해야 한다. 이 경우 가격변경으로 인한 i의 payoff는 기껏해야 vi - bj <= 0일 것이다. 그래서 이러한 b’i로 가격변경은 i의 payoff를 향상시키지 않는다. (payoff가 항상 음수임)
  • 두번째, 입찰자 i가 vi보다 작은 b’’i (<vi)로 낙찰이 된 경우 입찰자 i의 payoff는 true value보다 작은 가격을 제시했으니 vi로는 이겼지만 b’’i로는 졌다고 본다. 가격을 변경하기 이전에 vi는 winning bid였고, second-price bid bk는 vi 와 b’’i 사이에 있었다. 이 경우 가격 변경 전 i의 payoff는 vi - bk >= 0 이다. 가격 변경 이후에는 입찰자 i가 졌기 때문에 payoff는 0이 된다. 이 또한 가격 변경 i 의 payoff를 향상시키지 않는다. (가격 변경 전 payoff가 변경 후 payoff보다 높을 수 밖에 없다.)

• 위에서 세로축은 가격축이고, bi’은 첫번째 경우의 낙찰 지점이다. 맨 밑에 bi’’은 두번째 경우의 낙찰 지점이다.
• truthful bidding is a dominant strategy in a sealed-bid second-price auction.
• 진실이 dominant strategy라는 사실이 개념적으로 second-price auction 을 매우 깨끗하게 만든다.

- First-Price Auctions

• sealed-bid first-price auction에서 입찰자의 가격은 이길지 말지에 영향을 주지 않지만 낙찰 시점에 얼마나 지불할 지에는 영향을 준다.
• 결과적으로, 이전 섹션에서 언급한 대부분이 재수행되어야만 하고, 결론은 다르게 나온다. 만약 입찰자 i의 가격 bi가 winning bid가 아니라면, payoff = 0이다. 반대로 winning bid이면, 그 때 payoff는 vi - bi 이다. 주목해야할 첫번째는 true value로 입찰하는 것은 더 이상 dominant strategy가 아니다. true value로 입찰함으로써 낙찰하지 못할 경우 payoff=0이 되고, 이겨도 payoff=0이기 때문이다.
• 입찰하는 최적화된 방법은 입찰가 bi를 조금씩 깎는 것이다. 그렇게 해서 이긴다면 payoff (>0)를 얻을 수 있다. 입찰가를 얼마씩 줄일지는 두 개의 반대 세력 사이에서 trade-off를 균형을 맞추는 것을 포함한다. true value에 너무 가깝게 입찰을 한다면, 이겨도 payoff가 크지 않다. 그러나 true value에서 멀어질수록 이겼을 때 payoff가 증가하게 된다. 그 때 높은 입찰가일 확률을 줄인다. 두 요소 사이에 trade-off를 최적화하는 법은 다른 입찰자들과 그들이 제시할 값들의 분포에 대한 지식에 의존하는 복잡한 문제이다. 예를 들어, 사람이 많을 수록 입찰가격이 증가할 확률이 더 높다. 따라서 입찰 시 이보다 더 높은 가격을 제시할 필요가 있다.

- 공통값을 가지고 경매하는 것과 승자의 저주

• 지금까지 입찰자가 제시하는 가격이 경매가 되는 동안 독립적이라는 사실을 가정했다. 각 입찰자는 자신만의 가격만 알고 있고, 다른 이들이 얼마나 가격을 제시했는지 고려하지 않는다. 이것은 많은 상황에서 이치에 맞지만, 입찰자들이 물건을 재판매하려는 환경에는 분명히 적용되지 않는다. 이 경우, 물체에 대한 공통의 최종 값이 있다. 재판매 시 발생하는 양이지만 반드시 알 필요는 없다. 각 입찰자 i는 이 공통값의 추정인 vi를 알아내기 위해 몇 가지 사적인 정보를 가질 수도 있다. 개개인의 추정은 전형적으로 약간 잘못될 것이고 그들은 또한 전형적으로 서로서로 독립적이지 않을 것이다. 이러한 추정에 있어 가능한 모델은 true value를 v라고 가정하고, 각 입찰자 i의 추정 vi는 vi = v + xi 에 의해 정의되어진다. 여기서 xi는 i의 추정값에서 오차를 나타내며 평균 0인 랜덤 값이다.

낙찰 시, 공통 값보다 over-estimated 인 가격을 지불했을 가능성이 높으면 낙찰 받은 물건을 되팔 때 손해를 볼 수 있다.

- Seller Revenue(판매자 수익)

• first-price와 second-price 경매 방식에서 판매자가 만들 수 있는 기대할만한 이득을 비교하는 방법
  • 2가지 경쟁적인 요소가 있다. second-price auction에서 판매자는 두번째로 가장 높은 입찰가를 청구해야 하므로, 명확히 돈을 덜 모으기로 한다. first-price auction에서 입찰자는 가격을 줄이고, 판매자가 모을 수 있는 금액도 줄인다.
• 어떻게 이러한 반대 요소가 서로서로 trade-off 되는지 이해하기 위해, [0,1] 간격에서 균등 분포하는 독립적인 값들을 가진 n명의 입찰자를 고려해보자. 판매자의 수익이 가장 높은 값과 두번째로 높은 입찰가를 기반으로 할 것이기 때문에 이러한 질적인 측면에서 기댓값을 알 필요가 있다. 기댓값을 계산하는 것은 복잡하나 아래에 단순한 답이 있다.

입찰자의 true value는 n/(n+1)이었다. 여기에 (n-1)/n 을 곱하는 것은 입찰가를 깎는다는 의미

결국 판매자 수익의 기댓값은 (n-1)/(n+1)